برش ددکیند

🔻برش ددکیند

برش ددکیند مفهومی بنیادی در آنالیز ریاضی است که برای تعریف اعداد حقیقی به روشی صوری و بدیهی به کار می‌رود.

ایده اصلی:

فرض کنید می‌خواهیم مجموعه اعداد حقیقی را Q و مجموعه اعداد گویا را P در نظر بگیریم. برش ددکیند، تقسیم بندی مجموعه Q به دو زیرمجموعه A و B است که خواص زیر را داشته باشند:

ا• A و B غیرخالی هستند: هر کدام از این زیرمجموعه‌ها حداقل یک عضو دارند.

ا• A شامل تمام اعداد گویای کوچکتر از هر عضو B است: برای هر x در A و هر y در B، x ≤ y خواهد بود.

ا• B شامل تمام اعداد گویای بزرگتر یا مساوی با هر عضو A است: برای هر x در A و هر y در B، x ≤ y خواهد بود.

هیچ عددی در A و B به طور همزمان وجود ندارد. هیچ عدد گویایی نمی‌تواند هم در A و هم در B باشد.

عدد حقیقی مرتبط با برش ددکیند:

با هر برش ددکیند (A, B) یک عدد حقیقی a مرتبط می‌شود که به صورت زیر تعریف می‌شود:
ا• a کوچکترین عدد حقیقی غیر گویا در B است.
به عبارت دیگر، a حد پایینی B است، که شامل تمام اعداد حقیقی (اعم از گویا و غیر گویا) کوچکتر یا مساوی با a می‌شود.

اهمیت برش ددکیند:

برش‌های ددکیند روشی صوری و بدیهی برای تعریف اعداد حقیقی ارائه می‌دهند. این روش به ما امکان می‌دهد تا بدون اتکا به مفاهیم شهودی مانند “نقطه” یا “طول” که ممکن است مبهم باشند، اعداد حقیقی را تعریف کنیم.

مثال:
فرض کنید A را مجموعه تمام اعداد گویای کوچکتر از 2 و B را مجموعه تمام اعداد گویای بزرگتر یا مساوی با 2 در نظر بگیریم.
ا• (A, B) یک برش ددکیند است، زیرا:

ا• A و B هر دو غیرخالی هستند: A شامل اعدادی مانند 1 و 0.5 است و B شامل اعدادی مانند 2 و 2.1 است.

ا• A شامل تمام اعداد گویای کوچکتر از هر عضو B است: برای هر x در A و هر y در B، x ≤ y خواهد بود.

ا• B شامل تمام اعداد گویای بزرگتر یا مساوی با هر عضو A است: برای هر x در A و هر y در B، x ≤ y خواهد بود.
هیچ عددی در A و B به طور همزمان وجود ندارد: هیچ عدد گویایی نمی‌تواند هم در A و هم در B باشد.
عدد حقیقی مرتبط با این برش ددکیند، عدد 2 است. 2 کوچکترین عدد حقیقی غیر گویا در B است.

🔹کانال تخصصی ریاضیات