ضرب خارجی

تعریف ضرب خارجی

ضرب خارجی، به عملیاتی در ریاضیات گفته می‌شود که با استفاده از آن می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود. ضرب خارجی دو بردار a و b را به صورت زیر نشان می‌دهند.

a×b = ضرب خارجی دو بردار a و b

محاسبه ضرب خارجی

همانند شکل زیر دو بردار a و b را تصور کنید.

 

حاصلضرب خارجی این دو بردار برابر با مقدار زیر است.

در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین $$\theta$$، زاویه بین این دو بردار است. بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.

اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت $$a=(a_x,a_y,a_z)$$ و $$b=(b_x,b_y,b_z)$$ بیان شوند، حاصل‌ضرب خارجی را می‌توان به شکل محاسبه کرد.

معادلات بالا در حقیقت دترمینان یک ماتریس هستند. به منظور درک بهتر، دو بردار $$a=(a_1,a_2,a_3)$$ و $$b=(b_1,b_2,b_3)$$ را در نظر بگیرید. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد حاصل‌ضرب خارجی دو بردار، کمیتی برداری است؛ برای محاسبه حاصل‌ضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.

$$\begin{array}{cc}\overrightarrow{c}& =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\\ & =(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\overrightarrow{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\overrightarrow{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\overrightarrow{k}\end{array}$$

توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است $$(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$$.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.